中考冲刺压轴系列——常考的几何动态题——三角形与四边形相关(1)
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【说明】本系列的试题综合性均较强，难度适中，尤其是在训练读图、画图、识图、作图及变式方面有一定的帮助作用，同时本系列试题多数适合于中考中的中档和压轴题（填选压轴或纯几何压轴），阅读时务必要体会“动中有静”的动态变化思想.
试题】如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD．已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5．
（1）试求出y关于x的函数关系式；
（2）在运动过程中，记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．请找出S1与S2之间关系，并说明理由.
（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．
【图文解析】
(1)根据题意，画出符合条件的图，并标注相关条件，如下图示：
由已知CG∥PA得，∠CGD＝∠PAG，所以tan∠CGD =tan∠PAG（分别在Rt△CDG和Rt△PAG中，由三角函数的定义），可得到：
其中x=2.5时，A点与G点重合.
(2)如下图示：
利用面积公式，并把y用上述得到的有关系代入，不难得到：
∵S1=0.5GP•GD=0.5(3﹣x)y
=……＝(4-x)/2（cm2）.
S2=0.5GD•CD=0.5（3﹣x）×1
=(3-x)/2（cm2）.
∴S1﹣S2=……=0.5（cm2），
所以在运动过程中，S1﹣S2是一个定值.
（3）先画出符合条件的图形：
【点评】此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质等，解题关键是大胆画图，用相关的字母表示相关的线段，设法找出相等关系，列出方程求解.
【拓展】在原题的题干保持不变，试思考以下问题：
（1）连接PC，当x为何值时，PA＝PC？
（2）如上图，当x为何值时，直线AC经过EF的中点？
答案：x=1.5.
（3）如上图，连接AC，当x为何值时，△PAC为直角三角形？
（提示：两种情况，如下图示，答案略去.）
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